Mathematische Methoden für Ökonomen
Das Buch bietet eine Einführung in die wichtigsten mathematischen Methoden für Ökonomen. Dazu gehören das Optimieren von Funktionen mit und ohne Nebenbedingungen, das Lösen linearer Gleichungssysteme, die Analyse von Differential- und Differenzengleichungen und die lineare Optimierung. Die Autoren legen besonderen Wert auf die Darstellung von in den Wirtschaftswissenschaften relevanten Begriffen und Modellen. Das Lehrbuch richtet sich an Studierende im Bachelorstudium. Durch ausführliche ergänzende Kapitel ist es auch für das Masterstudium und als Nachschlagewerk geeignet. Zahlreiche durchgerechnete Beispiele und Aufgaben mit Kurzlösungen ermöglichen ein Selbststudium.
Inhaltsverzeichnis
1 Funktionen
1.1 Grundbegriffe
1.2 Umkehrfunktion, Verkettung
1.3 Bivariate Funktionen
1.4 Multivariate Funktionen
1.5 Weitere Eigenschaften multivariater Funktionen
1.6 Ordnungen und Äquivalenzrelationen
Aufgaben
2 Matrizen und Vektoren
2.1 Matrizen
2.2 Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen
2.3 Multiplikation von Matrizen
2.4 Inverse Matrizen
2.5 Lineare Abbildungen
2.6 Geometrie des IRn
2.7 Weitere Eigenschaften von Mengen im IRn
2.8 Orthogonale Matrizen und Abbildungen
Aufgaben
3 Folgen und Reihen
3.1 Zahlenfolgen
3.2 Mehrdimensionale Folgen
3.3 Weitere Eigenschaften von Folgen
3.4 Reihen
3.5 Geometrische Reihe
3.6 Anwendung: Finanzmathematik
3.7 Konvergenzkriterien für Reihen
3.8 Stetigkeit von Funktionen
3.9 Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen
3.10 Fixpunkte einer Funktion
3.11 Stetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher
Aufgaben
4 Differenzierbare Funktionen einer Variablen
4.1 Ableitung, Differential, Elastizität
4.2 Ableitungsregeln
4.3 Erste und zweite Ableitung
4.4 Nullstellen und Extrema
4.5 Wendepunkte
4.6 Monotonie, Konkavität, Konvexität
4.7 Höhere Ableitungen und Taylor-Polynom
4.8 Regel von L’Hospital
4.9 Mittelwertsatz
4.10 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung
Aufgaben
5 Differenzierbare Funktionen mehrerer Variablen
5.1 Ableitung, Differential, Elastizitäten
5.2 Ableitungsregeln
5.3 Ableitung vektorwertiger Funktionen
5.4 Kettenregel und totale Ableitung
5.5 Homogenität
5.6 Implizite Funktionen
5.7 Richtungsableitung
5.8 Lokale lineare Approximation
Aufgaben
6 Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen
6.1 Extrema im Innern des Definitionsbereichs
6.2 Extrema am Rand des Definitionsbereichs
6.3 Globale Extrema
6.4 Extrema unter Nebenbedingungen
6.5 Enveloppentheorem
6.6 Hinreichende Charakterisierung von Extrema unter Nebenbedingungen
6.7 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen
6.8 Taylor-Polynom
Aufgaben
7 Integralrechnung
7.1 Stammfunktionen
7.2 Unbestimmte Integrale
7.3 Bestimmte Integrale
7.4 Weitere Rechenregeln für bestimmte Integrale
7.5 Berechnung von Flächen
7.6 Partielle Integration
7.7 Integration durch Substitution
7.8 Uneigentliche Integrale
7.9 Integralrechnung in mehreren Variablen
7.10 Ableitung unter dem Integral
Aufgaben
8 Lineare Gleichungen
8.1 Lösung einer linearen Gleichung
8.2 Elementare Zeilenumformungen
8.3 Das Gauß-Jordan-Verfahren
8.4 Inversion einer Matrix
Aufgaben
9 Grundbegriffe der linearen Algebra
9.1 Linearkombinationen und Erzeugnis
9.2 Lineare Unterräume
9.3 Lineare Unabhängigkeit
9.4 Basis und Dimension
9.5 Rang einer Matrix
9.6 Mehr über lineare Gleichungen
9.7 Vektorräume
Aufgaben
10 Determinanten und Eigenwerte von Matrizen
10.1 Determinanten
10.2 Eigenwerte
10.3 Eigenwerte von symmetrischen Matrizen
Aufgaben
11 Lineare Optimierung
11.1 Grafische Lösung
11.2 Das Simplexverfahren
11.3 Die Mathematik des Simplexverfahrens
11.4 Das Simplexverfahren in Tableauform
11.5 Die Zweiphasenmethode zur Gewinnung einer Anfangslösung
11.6 Dualität
Aufgaben
12 Differential- und Differenzengleichungen
12.1 Differentialgleichungen
12.2 Differenzengleichungen
Aufgaben
A Das griechische Alphabet
B Mengen
C Summen und Produkte
D Komplexe Zahlen
E Kurzlösungen